Centrul de masa al unui sistem format din doua particule


Centrul de masa al unui sistem format din doua particule

Marime:
Descarcari: 3

Centrul de masa al unui sistem format din doua particule Numim punctul care divide distanţa dintre cele doua corpuri in segmente invers proporţionale cu masele lor centrul de masă al sistemului. Mai general, centrul de masă este acel punct in care este concentrată toată masa unui sistem si, din punct de vedere dinamic, descrie comportarea inregului sistem de puncte materiale. Pentru două puncte materiale aflate pe axa Ox, avand masele m1 si m2 (fig.1), poziţia centrului de masă se calculează cu ajutorul relaţiei : XCM = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) Daca poziţile celor două puncte materiale sunt caracterizate faţă de un sistem de referinţă prin vectorii de poziţie r1 si ,respectiv r2 (fig.2), atunci : RCM = (m1r1 + m2r2)/(m1 + m2) Dacă punctele materiale m1 si m2 isi modifică poziţiile faţă de sistemul de referinţă, atunci, intr-un mic interval de timp, ∆t, variaţia vectorului de poziţie al centrului de masă va fi : ∆r CM = (m1∆r1 + m2∆r2) / (m1 + m2 ) iar dacă imparţim această variaţie la intervalul de timp in care ea s-a petrecut, obţinem: v CM = (m1v1 + m2v2 ) / (m1 + m2 ) Dacă notam cu M = m1+m2 masa totală a sistemului format din cele două puncte materiale observăm că : MvCM = m1v1 + m2v2 = p1+p2= p Tragem concluzia că impulsul total al sistemului de puncte materiale este identic cu impulsul centrului de masă, M ·vCM . Dacă impulsul unui sistem format din două puncte materiale se conservă, atunci viteza centrului de masă al acelui sistem rămane constantă şi putem spune că centrul de masă se deplasează rectiliniu uniform. Pentru a ne explica acest fenomen, să pornim de la urmatorul experiment : Doi patinatori de mase diferite, m1 , respectiv m2 , stau pe gheaţă faţă in faţă. La un moment dat, unul dintre ei il impinge pe cel de-al doilea. Considerand frecările neglijabile, cei doi parteneri se vor deplasa cu impulsuri egale, in sensuri opuse, cu vitezele v1 , respectiv v2 . m1v1 = -m2v2 Deci raportul vitezelor este invers proportional cu raportul maselor: m2/m1 = v1/v2 Presupunand că timpul de interacţiune a fost foarte scurt si cei doi, după un interval de timp ∆t, se mişcă tot cu vitezele de la pornire, distanţele parcurse de la locul de despărţire sunt : x1=v1∆t si x2=v2∆t. Aceste două distanţe sunt direct proporţionale cu vitezele si deci invers poporţionale cu masele celor două corpuri: x1/x 2= v1/v2 = m1/m2 in exemplul dat aici, centrul de masă al sistemului format din cei doi patinatori este locul deplasării lor rectilinii uniforme. in cazul prezentat cei doi patinatori aveau, inaintea interacţiunii, un impuls nul. Acest impuls s-a conservat deoarece in timpul interacţiunii fortele externe au fost negljabile ( frecarea cu gheaţa si cu aerul este foarte mică ), iar forţele interne de interacţiune dintre patinatori nu modifică impulsul total al sistemului. Cei doi s-au deplasat cu impulsuri egale si de sensuri contrare, astfel ca impulsul total al sistemului să nu se modifice, Centrul de masă, in acest caz, a ramas in repaus, in punctul de unde s-au despărţit cei doi patinatori. Un alt exemplu s-ar putea da in cazul unei explozii a unei rachete. După producerea exploziei veţi vedea fragmentele rezultate mişcandu-se in diferite direcţii faţă de traiectoria iniţiala a rachetei. Intuiţi că exista un punct al sistemului format din fragmentele unei rachete care continuă să se mişte, si dupa producerea exploziei, pe traectoria iniţiala a rachetei, panş cand unul dintre fragmente va atinge solul. Forţele interne dezvoltate in momentul exploziei rachetei sunt mult mai mari decat forţele externe care acţioneaza asupra ei, motiv pentru care putem considera că impulsul ei se conservă. Din acest motiv, centrul ei de masă continuă să se mişte pe aceeaşi traiectorie pană cand unul dintre fragmente atinge solul, modificand astfel configuraţia sistemului. Dacă vitezele celor două puncte materilale se modifică in intervalul mic de timp (∆t), putem scrie: ∆vCM = (m1∆v1 + m2 ∆v2) / (m1 + m2) imparţind acum la ∆t si folosind relaţia prin care definim acceleraţia unui punct material , a = ∆v/∆t , obţinem : aCM = (m1a1 + m2a2 )/(m1 + m2) adică MaCM = (m1a1 + m2a2) = F1 + F2 = F Unde am notat cu F = F1 + F2 rezultanta forţelor externe care acţionează asupra punctelor sistemului . Relaţia : MaCM = F ne arată că dacă rezultanta forţelor externe este nulă, aCM = 0 , adică impulsul sistemului format din cele două puncte materiale se conservă. Aplicaţie : Sirius este o stea dublă, formată din două stele: Sirius A si Sirius B. Traiectoriile lui Sirius A si Sirius B sunt reprezentate in fig.3. Masa lui Sirius A este mA = 4,2∙1030 kg , iar masa lui Sirius B este mB= 2,1∙1030kg. Poziţiile ocupate de cele două stele din cinci in cinci ani sunt reprezentate printr-un punct negru pentru Sirius A si printr-un punct colorat pentru Sirius B(fig.3). Trasaţi traiectoria centrului de masă al sistemului format din cele două stele . Caracterizaţi mişcarea centrului lor de masă.Explicati. xCM = (m1x1 + m2x2) / (m1 + m2)  xCM = m2d/(m1 + m2 ) x1= 0 x2= d Mişcarea centrului de masă a celor două stele este o miscare rectilinie uniformă deoarece descrie o dreaptă, iar distanţele dintre centrele de masa la un interval de cinci ani sunt egale.

DESCARCA